POLYCOPIÉ DU STAGE OLYMPIQUE DE JUILLET 2019

1.1 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.1 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.2 Loi des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.3 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.4 Théorème de la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.5 Formule de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.6 Triangles semblables, triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.2 Géométrie du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.2.1 Chasse aux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.2.2 Puissance d’un point par rapport à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.2.3 Théorème de Ptolémée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.3 Exercices du premier chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2 STRATÉGIES DE BASE 40
2.1 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Principe de récurrence et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.2.1 Raisonnement par récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.2.2 Récurrence multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.2.3 Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.3 Principe de descente infinie de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.4 Parties de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.5 Exercices du deuxième chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3 THÉORIE DES NOMBRES (ARITHMÉTIQUE) 52
3.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.2 PGCD-PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.2.1 Plus grand diviseur commun de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.2.2 Plus petit commun multiple de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.3.1 Division euclidienne dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.4 Identité de Bezout et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.5 Théorème de Gauss et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

7

3.5.1 L’équation ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.6 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.7 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.8 Arithmétique modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.8.1 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.9 Carrés parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.10 Introduction aux équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.10.1 Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.10.2 Discriminant d’un trinôme à coefficients entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.10.3 Équations diophantiennes et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.11 Exercices du troisième chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4 ALGÈBRE 93
4.1 Radicaux, racines n-èmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.2 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.3 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.4 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.4.1 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.4.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5 Inégalités de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5.1 Inégalité arithmético-géométrique d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5.2 Moyennes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5.4 Lemme de Titu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.5.5 Valeurs maximales et valeurs minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.6 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.6.2 Coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.7 Parties entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.8.2 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.8.3 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.8.4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.9 Généralités sur les équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.9.1 Méthodes élémentaires de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.9.2 Substitutions fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4.10 Exercices du quatrième chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5 COMBINATOIRE (à compléter) 

5.1 Principe de la moyenne, principe des tiroirs de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 

5.2 Principe de l’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.3 Invariants, mono-variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.4 Pavage, coloriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.5 Jeux, stratégies gagnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.6 Principe de l’inclusion-exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.7 Un peu de géométrie combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.8 Arithmétique combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.9 Principes basiques de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Math&Maroc 8 Stage olympique de Juillet 2019 

5.10 Dénombrement des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5.11 Exercices du cinquième chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6 PROBLÉMES DES TESTS DE SÉLÉCTION 2018/2019 

6.1 Test de sélection national de Novembre 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6.2 Test de sélection national de Décembre 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6.3 Test de sélection national I de Février 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6.4 Test de sélection national II de Février 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6.5 Test de sélection national de Mars 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6.6 Test de sélection national de Avril 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

 6.7 Test de sélection I du stage de Juillet (Jour 1) . . . . . . . . . . . . . . 

6.8 Test de sélection II du stage de Juillet (Jour 2) . . . . . . . . . . . . . .

 

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